Informatyka · Zakres podstawowy

Liczby pierwsze i ułamki — po co nam NWD i NWW?

Pół pizzy i jedna trzecia pizzy to nie dwie piąte. Program też musi wiedzieć, jak ustalić wspólny mianownik.

  • Przewidź
  • Sprawdź
  • Wyjaśnij

Po tej lekcji: Sprawdzisz pierwszość liczby, skrócisz ułamek i dodasz dwa ułamki przez NWD oraz NWW.

Zakres podstawowy · materiał otwarty

Czy liczba ma dzielnik?

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: 1 i samą siebie. 0 i 1 nie są pierwsze. Jeśli n ma dzielnik większy od √n, drugi dzielnik pary nie przekracza √n. Dlatego wystarczy badać d*d ≤ n; uwzględniamy równość, żeby wykryć np. 49.

Samodzielny test pierwszości

przyklad.pypython
def czy_pierwsza(n):
    if n < 2:
        return False
    dzielnik = 2
    while dzielnik * dzielnik <= n:
        if n % dzielnik == 0:
            return False
        dzielnik += 1
    return True

print(czy_pierwsza(29), czy_pierwsza(49), czy_pierwsza(1))
Wynik
True False False

Sprawdź w działaniu

Znajdź parę dzielników

Wybierz 29 albo 49 i przesuwaj próbny dzielnik. Czy trzeba dojść aż do n−1?

Ta interakcja wymaga włączonego JavaScriptu.

Najpierw przewidź wynik, potem sprawdź i wyjaśnij różnicę.

Najpierw wspólny mianownik

Dla dodatnich mianowników b,d wspólny najmniejszy mianownik to NWW(b,d)=b//NWD(b,d)*d. Dla 1/2 + 1/3 jest nim 6: 3/6 + 2/6 = 5/6. Skróć wynik przez NWD licznika i mianownika. W tej lekcji liczniki są nieujemne, mianowniki dodatnie — dzielenie przez zero nie opisuje ułamka.

Dodaj i skróć bez float

przyklad.pypython
def nwd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

a, b, c, d = 1, 2, 1, 3
mianownik = b // nwd(b, d) * d
licznik = a * (mianownik // b) + c * (mianownik // d)
dzielnik = nwd(licznik, mianownik)
print(licznik // dzielnik, mianownik // dzielnik)
Wynik
5 6

Ćwiczenie z pomocą · samodzielna praca

Dodaj 3/4 i 1/6

Zapisz wspólny mianownik, przeliczone liczniki i skrócony wynik. Potem zmień dane w kodzie.

Oczekiwany rezultat
11/12
Potrzebujesz pomocy? Rozwiązuj krok po kroku.
Krok 1 — pokaż podpowiedź

NWD(4,6)=2.

Krok 2 — pokaż podpowiedź

NWW to 4//2*6=12.

Krok 3 — pokaż podpowiedź

Dodajesz 9/12 i 2/12.

Otwórz tylko tyle podpowiedzi, ile potrzebujesz. Po każdym kroku wróć do zadania i sprawdź wynik.

Ten sam zapis, cztery działania

Dla a/b i c/d, gdzie b,d>0: przy odejmowaniu korzystasz z tego samego wspólnego mianownika co przy dodawaniu, ale odejmujesz przeliczone liczniki. Przy mnożeniu licznik to a*c, a mianownik b*d; przy dzieleniu licznik to a*d, a mianownik b*c, pod warunkiem c≠0. Każdy wynik skróć przez NWD bezwzględnej wartości licznika i mianownika. Gdy mianownik jest ujemny, przenieś znak do licznika. Sprawdź ręcznie: 1/2−1/3=1/6, (2/3)*(3/4)=1/2, (2/3)/(4/5)=5/6. Dzielenie przez ułamek zerowy odrzuć przed obliczeniem.

Podsumowanie

Zapamiętaj

  1. Pierwszość sprawdzamy od n≥2.
  2. NWD skraca ułamek; NWW daje wspólny mianownik.
  3. Na ułamkach można liczyć dokładnie bez float.

Po zalogowaniu zobaczysz dodatkowe lekcje i materiały oznaczone jako rozszerzenie. Podstawowe quizy i zadania pozostają dostępne w biurku.

Dalej na swoim koncie

Rozgrzewki, quiz i zadania są w biurku ucznia.

Teoria jest otwarta dla wszystkich. Żeby rozwiązywać zadania, zapisywać szkice i widzieć swój postęp, zaloguj się.

Zaloguj się →
Źródła i dalsza nauka